鈴木 光弥

数学において、一般四元数群（いっぱんしげんすうぐん、英: generalized quaternion group）とは、四元数群





Q

8


=
{
±
1
,
±
i
,
±
j
,
±
k
}


{\displaystyle Q_{8}=\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\}}


を一般化した有限群のこと。これは





Q

4
m


=
⟨

a
,
b
∣

a

2
m


=
1
,


b

2


=

a

m


,


b

−
1


a
b
=

a

−
1



⟩

(
m
>
1
)


{\displaystyle Q_{4m}=\langle \,a,b\mid a^{2m}=1,\ b^{2}=a^{m},\ b^{-1}ab=a^{-1}\,\rangle \qquad (m>1)}


という表示で定義される、位数 4m で、位数が 2 である部分群（



Z
(

Q

4
m


)
=
⟨

a

m


⟩


{\displaystyle Z(Q_{4m})=\langle a^{m}\rangle }

）を唯一つ持つ群である。（2群の場合しか考えないこともある。この場合、位数 2n の一般四元数群を Qn と書く流儀もあり、注意が必要である。）群の生成元を




a
↦


[




e

π
i

/

m




0




0



e

−
π
i

/

m





]


,

b
↦


[



0


1




−
1


0



]




{\displaystyle a\mapsto {\begin{bmatrix}e^{\pi i/m}&0\\0&e^{-\pi i/m}\end{bmatrix}},\quad b\mapsto {\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}}


のように対応させることで、忠実な行列表現を得ることができる。